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Jun 16, 2023

Matemáticas del mecanismo del cable: diseño contra la ecuación del cabrestante

Me enamoré de los mecanismos accionados por cable hace unos años y armé algunos de mis primeros tentáculos mecánicos para celebrarlo. Pero sólo después de jugar con ellos comencé a comprender el

Me enamoré de los mecanismos accionados por cable hace unos años y armé algunos de mis primeros tentáculos mecánicos para celebrarlo. Pero sólo después de jugar con ellos comencé a comprender los principios que los hacían funcionar. Hoy quiero compartirles una de las ecuaciones más importantes a tener en cuenta al diseñar cualquier dispositivo que involucre cables, la ecuación del cabrestante. Deje que un poco de cafeína haga efecto y quédese conmigo durante los próximos minutos para tener una idea de cómo funciona, cómo afecta la fricción general en su sistema y cómo puede ponerla a trabajar para usted en casos especiales.

Pero primero: ¿qué son exactamente los mecanismos accionados por cable? Resulta que este término se refiere a una gran clase de mecanismos, por lo que limitaremos nuestro alcance solo a los sistemas de accionamiento por cable push-pull.

Se trata de dispositivos en los que se utilizan cables como actuadores. Al enviar estos cables a través de un conducto flexible, cumplen una función similar a la de los tendones de nuestro cuerpo que accionan nuestros dedos. Al diseñarlos, generalmente asumimos que los cables son flexibles y no se estiran cuando se tensan.

Dado que estos cables son flexibles, solo pueden exhibir una fuerza de tracción, no de empuje, por lo que los cables a menudo vienen en pares para actuar en ambas direcciones. Aquí estarán abriendo y cerrando las fauces del Chomper.

Aquí, el joystick controla la mandíbula amarilla de nuestro Chomper mediante dos cables, cualquiera de los cuales se puede tensar. Uno de los elementos clave detrás de los cables es la capacidad de desviar la dirección de la fuerza aplicada controlando el cable a través de finas fundas o conductos como este:

En esta configuración anterior, todavía podemos controlar el Chomper de forma remota a través del joystick y los cables de control mecánico, aunque con algo de fricción adicional. Idealmente, los conductos que conducen el cable son extremadamente flexibles y no se comprimen cuando se les aplica una fuerza de compresión. Esto puede parecer una especie de componente mágico, ¡pero no lo es! En realidad, es sólo un resorte de extensión largo y delgado como estas piezas de DR Templeman. Estas piezas reciben algunos nombres: resorte de extensión de longitud continua, guía de resorte... pero generalmente me referiré a ellas como guía de resorte cuando me refiero a ellas en proyectos animatrónicos. Esta guía de resorte es extremadamente flexible, pero también resistente a la compresión ya que está fabricada en acero inoxidable.

Si el ejemplo anterior parece un poco descabellado, tome el sistema de frenos de su bicicleta como ejemplo de una configuración accionada por cable. Aquí, su mano aprieta los frenos en un extremo de la bicicleta, lo que mueve un trozo de cable que pasa a través de una funda de su bicicleta, que mueve las pinzas de freno y, finalmente, aprieta el borde del cubo de la rueda para reducir la velocidad. Sin embargo, en lugar de un segundo conducto, un resorte de extensión proporciona la fuerza de retorno para abrir las pinzas de freno cuando soltamos la manija.

Con todo, estos mecanismos realmente brillan en situaciones que requieren espacios reducidos, control sin juego y un ángulo de rotación limitado. Si se diseñan correctamente, los accionamientos por cable se pueden fabricar para que no tengan juego y sean accionables hacia atrás. Pero aquí no son un elixir milagroso. Tienen límites y la ecuación del cabrestante es fundamental para comprender su mayor desafío cuando se trata de su diseño: la fricción.

¿No sería genial si pudiéramos controlar cualquier cosa de forma remota, utilizando cables de control mecánicos a distancia? ¡Estoy totalmente de acuerdo! Pero vale la pena preguntarse: ¿qué nos impide entrelazar nuestro cable y conducto dentro y fuera de alguna configuración arbitraria? La respuesta se reduce a la fricción. La fricción es nuestro enemigo aquí, ya que pone un límite a cuánto podemos doblar físicamente el conducto antes de que sea demasiado difícil moverlo. ¡Pero la relación específica con nuestro problema es bastante poco intuitiva! Para desarrollar una comprensión rigurosa de cómo la fricción afecta al cable, comencemos resolviendo un problema de muestra.

Deshagámonos del conducto por un minuto y comencemos con un modelo burdo usando solo dos ingredientes: un cable y un cilindro. En la imagen a continuación, hemos enrollado el cable parcialmente alrededor de un cilindro fijo y hemos puesto ambos extremos del cable en tensión para que el cable abrace el cilindro. Tenga en cuenta que el cilindro no puede girar, por lo que si quisiéramos mover el cable, tendríamos que luchar contra la fricción aquí y frotar contra el cilindro.

Ahora comencemos poniendo ambos lados en tensión con dos valores de tensión: TLoad y THhold. Mantendremos la tensión constante en THhold, pero aumentemos lentamente el valor de TLoad. Si nuestro cilindro fuera en realidad una polea sin fricción, sería imposible intentar crear un desajuste en la tensión; la tensión en un lado siempre será igual a la tensión en el otro lado. Pero debido a que nuestro cilindro es fijo, de hecho, es posible aumentar la tensión en un lado mientras se mantiene constante la tensión en el otro lado, sin que la cuerda se resbale en el proceso. Esto sucede porque la fricción estática sobre el cilindro actúa contra el aumento de tensión hasta un cierto límite.

Si ampliamos una sección transversal de una cuerda para examinar las fuerzas que actúan sobre una pequeña astilla, podemos ver cómo la fricción estática actúa contra TLoad, que iguala el desajuste de tensión para que el cable no se deslice.

Así que aquí está la gran pregunta: para un valor fijo de THold en un lado del cilindro, ¿cuánto puedo aumentar la TLoad en el otro lado antes de que el cable se deslice y comience a rozar el cilindro? (¡Atención! La derivación completa requiere algunos conocimientos de cálculo y ecuaciones diferenciales, pero, para los curiosos, eche un vistazo a este PDF).

TL;DR: la respuesta es la ecuación del cabrestante. Nos dice que, para una tensión de sujeción dada en un lado, la cantidad máxima de tensión que podemos poner en el otro lado del cable sin deslizarnos viene dada por:

Mover ambas T hacia un lado nos da algo un poco más interesante: una relación entre dos tensiones.

Echemos un vistazo a las entradas de esta ecuación. µs es el coeficiente de fricción estática del cable, una propiedad del material que podemos consultar en una tabla o hoja de datos de materiales. θ es el ángulo de curvatura total entre sus dos vectores de tensión, TLoad. y THold, medido en radianes. TL y TH son las magnitudes de cada valor de tensión respectivo.

Además, una nota al margen importante: el ángulo de curvatura θ es acumulativo. En otras palabras, si agrega otro cilindro fijo a la mezcla, también deberá sumar allí el ángulo total de curvatura. Esto es cierto incluso si el ángulo se dobla en la dirección opuesta como se muestra a continuación:

Entonces, el ángulo total que pondríamos en la ecuación del cabrestante está dado por θ1+ θ2.

La clave aquí es que sólo dos propiedades, el ángulo de flexión y el coeficiente de fricción estática, dictarán cuánta tensión adicional podemos agregar en un lado antes de que toda la configuración se resbale. Entonces, ¿qué podemos deducir de esta ecuación?

La primera conclusión clave es que el tamaño del cilindro no tiene ningún efecto sobre la cantidad de desajuste de fricción. En otras palabras, un cilindro de radio pequeño producirá el mismo valor resultante que produciría un cilindro de radio grande, siempre que los ángulos de curvatura generales sean los mismos. ¡Eso no es intuitivo! Sin embargo, debo mencionar: la ecuación anterior supone que el cable es infinitamente endeble, lo cual es una buena aproximación a menos que nuestro radio de curvatura sea realmente pequeño, como unos pocos múltiplos del diámetro del cable. En ese caso, la fuerza necesaria para doblar el cable sí importa. Pero, en la mayoría de situaciones, podemos ignorarlo.

¡Otra conclusión clave es que la relación está relacionada exponencialmente con el ángulo de curvatura! Entonces, si bien una vuelta alrededor del cilindro puede no agregar mucha fricción, agregar una segunda vuelta aumenta a más del doble la relación de tensión máxima entre los dos extremos del cable. Por ejemplo, con un cable con µs = 0,3, dos vueltas suponen 6,6 veces más fricción que una vuelta. Tres vueltas suponen 43,4 veces más fricción que una vuelta [enlace matemático]. Pero si nuestro µs = 0,2, tres vueltas suponen sólo 12,3 veces más fricción que una vuelta. En resumen, las relaciones exponenciales no son intuitivas y se acumulan rápidamente, y elegir un cable con un coeficiente de fricción lo más pequeño posible (como este cable recubierto de nailon) es clave para mantener bajo el exceso de fricción.

Por sí solo, este ejemplo parece bastante obtuso, así que relacionémoslo con nuestro problema original con nuestro triturador accionado por cable que utiliza conductos. Para trasladar las conclusiones del problema a nuestra configuración, simplemente sustituimos los cilindros de arriba con un conducto y, listo, ¡exactamente la misma ecuación se aplica a esta configuración también! Dado que tanto el cilindro como el conducto están fijos, la ecuación del cabrestante también se aplica a esta situación. Aquí el ángulo de curvatura acumulativo proviene de la curvatura total del cable que está en tensión.

Observe que solo marqué los ángulos θ1 y θ2 en un conducto, no en ambos. Eso es a propósito. Para un torque en el sentido de las agujas del reloj aplicado al joystick, solo se pone en tensión un cable; el otro se afloja. En otras palabras, sólo las curvaturas del cable en tensión aumentan el costo de fricción. Si aplicáramos un torque sobre el mango en la otra dirección, los costos de fricción vendrían de las curvas en el otro conducto. En la práctica, probablemente enrutaríamos ambos conductos juntos como un solo paquete, pero es importante comprender exactamente quién es responsable de la fricción dependiendo de la dirección de la entrada.

Aplicada a nuestra configuración Chomper, la ecuación del cabrestante nos dice cuánto más fuerte tenemos que tirar de un lado del cable antes de que podamos lograr que el otro lado del cable comience a moverse. Si conocemos el coeficiente de fricción estática de nuestro cable y podemos estimar el ángulo de curvatura máximo de nuestra configuración, podemos estimar el valor de tensión máximo que nuestra configuración encontrará, lo que, a su vez, nos ayuda a especificar un motor con la cantidad adecuada de torque. .

Pero hay otra conclusión aún más simple de esta ecuación que podemos usar como regla general. Cuando se trata de diseñar sus propios mecanismos accionados por cable que utilizan conductos, queremos eliminar cualquier doblez innecesaria en cualquier otra parte del cable. En otras palabras, los conductos no son una solución general para dirigir una fuerza de tracción a cualquier otro lugar de nuestro sistema. Cada curvatura que les agregamos agrega un costo de fricción, y esa fricción adicional se puede calcular con la ecuación del cabrestante.

Ahora que sabemos cómo se relacionan la fricción y el ángulo de curvatura, ¿cómo podría ajustar mi diseño para reducir parte de la fricción innecesaria que los motores tendrán que superar? (Confieso que no conocía la ecuación del cabrestante cuando hice esta configuración).

Si su sistema necesita pasar el cable a través de una serie de curvas, considere introducir poleas para hacer algunas de estas curvas por usted. Dado que las poleas ruedan libremente, no añaden fricción y, por lo tanto, no contribuyen al ángulo de curvatura acumulativo en la ecuación del cabrestante.

Si bien la ecuación del cabrestante es un gran fastidio porque nos impide tejer interminablemente nuestro conducto a través de secciones difíciles de alcanzar de nuestro diseño, existen algunos casos en los que esa fricción es extremadamente útil. Dado que la tensión en un lado está relacionada exponencialmente con la tensión en el lado opuesto, con solo unas cuatro vueltas, podemos usar el cilindro del cabrestante para conducir el cable directamente sin preocuparnos de que el cable se deslice.

Esta maravillosa propiedad da paso a un mecanismo llamado cabrestante, un cable enrollado alrededor de un pequeño eje que puede usarse como actuador. Aquí hemos puesto en práctica la ecuación del cabrestante. Contamos con esa relación exponencial para que nuestro cable no se deslice mientras gira el cilindro. Estos mecanismos son demasiado interesantes para pasarlos por alto, por lo que los revisaremos en una publicación futura. Hasta entonces, esperamos que esta breve introducción le ayude a pensar un poco más detenidamente sobre el enrutamiento de cables en su próximo proyecto de conductos de cables push-pull, incluidos tentáculos o no.